Matematyka - funkcje kwadratowe (14.11.07)

Folmi

Tu jest nasz spr + wzory
s.1 - [link widoczny dla zalogowanych]
s.2 - [link widoczny dla zalogowanych]

a teraz jak to się robi:

1.
a) downwards - wtedy, gdy a<0
upwards - gdy a>0

b) obliczamy deltę, potem p i q
(p i q = współrzędne wierzchołka)

+zaznaczamy wierzchołek na wykresie

c) przecięcie z osią y = c
[ współrzędne miejsca przecięcia z osią y: (0,c) ]

+zaznaczamy przecięcie z osią y na wykresie

d) obliczamy deltę,
i teraz:
jeśli wyjdzie dodatnia - liczymy x1 i x2
równa 0 - liczymy x1
ujemna - brak rozwiązań

+zaznaczamy przecięcia z osią x na wykresie

e) teraz można odczytać z wykresu gdzie nasza funkcja maleje/rośnie (dla jakiego x)

pamiętając, że funkcja ujemna (tam gdzie a jest ujemne) przedział rosnący zawsze ma od -nieskończoności a malejący ma do +nieskończoności [funkcja dodatnia - odwrotnie]

ten przedział zapisujemy f^ lub fv = ( ... , ... )

f) zbiór wartości to jakby przedział jakie y obejmuje nasza funkcja

i tu jeśli funkcja jest ujemna to przedział jest od -nieskończoności, a jeśli funkcja jest dodatnia to przedział jest do +nieskończoności

ten przedział zapisujemy: range: ( -nieskończoność , ... > - jeśli ujemna
lub range: < ... , +nieskończoność)

g) wzór na p. kanoniczną znamy i wcześniej obliczyliśmy p i q, więc wystarczy podstawić do wzoru a(x-p)do kwadratu+q
(tylko x się nie zmieni - pod x nic nie podstawiamy)

h) prosta symetrii - czyli przez jakie x przechodzi linia prosta przedzielająca funkcję na dwie równe połowy (symetryczne względem siebie)
nietrudno zauważyć, że dla x=p

+zaznaczamy ją linią przerywaną

2. przy przesuwaniu funkcji o wektor musimy tylko pamiętać, że
np. [3, 4]
3-to jest p
4-to jest q
i to podstawiamy zamiast p i q
pamiętając, że p ZMIENI znak, czyli nie napiszemy 3 zamiast p, TYLKO -3

3. zadanie analogiczne do 1d

4. przenosimy wszystko na jedno stronę, żeby po drugiej było 0
[to co mamy po lewej to funkcja w postaci ogólnej]
obliczamy deltę i iksy
ALE jeśli nie mamy podanego w funkcji a, b lub c to podstawiamy 0 zamiast brakującego a, b cz c (przy liczeniu delty)

delta może nam wyjść ujemna, wtedy są 2 opcje:
x będzie zawierać wszystko albo nic
jak delta jest ujemna to x należy do zbioru pustego (jeśli funkcja jest ujemna)
jak delta jest ujemna i funkcja jest dodatnia to x należy do R (wszystko)

+ warto zrobić wykres, żeby mieć lepszą wizję tego, co szukamy
+ pamiętamy, że odpowiedzią jest PRZEDZIAŁ (a nie miejsca zerowe jak to ma miejsce w równościach)

odp. zapisujemy x[znak przynależności] ( ... , ... )
i jeśli przedział jest "rozdzielony" to jeszcze dopisujemy U[taki znak sumy] ( ... , ... )

nawiasy ( lub < w zależności od tego czy mamy np. 'mniejsze+równe' czy samo 'mniejsze'

5. zadanie analogiczne do 1g, z tym że najpierw trza policzyć deltę + p i q

6. mamy np. przedział <-2,-1>
liczymy deltę i p żeby wiedzieć orientacyjnie gdzie jest wierzchołek [+szkicujemy to pamiętając, kiedy funkcja w którą stronę jest skierowana]
sprawdzamy czy p mieści się w przedziale (nie powinno)
dzięki szkicowi będziemy widzieć, czy wartość dla -2 jest wartością minimalną czy maksymalną
zatem podstawiamy pod wzór funkcji ogólnej -1 zamiast x
potem -2 zamiast x
i to co nam wyjdzie to właśnie wartości minimalne/maksymalne

PS. All thx to bOdziO Wolf (dzięki Niemu to czaję ; )
niewykluczone, że mogły się wkraść jakieś nieścisłości - srry za nie